\section{Discusi'on}
\subsection{Introducci'on}
La primer dificultad que se encontr'o fue c'omo se iba generando la matriz con los valores discretizados del horno. Despues de varias consultas al cuerpo docente, finalmente entendimos c'omo estaba formada dicha estructura. Supongamos que en el horno tenemos nueve puntos definidos. Entonces la matriz discretizada, utilizando el modelo explicado en el enunciado, ser'a una matriz de $\Re^{9\times 9}$, en donde a cada fila se le asignar'a el valor de la temperatura para un determinado punto. La idea es que utilizando la ecuaci'on del calor, se van a ir despejando las icognitas utilizando los cuatro puntos que estan alrededor de dicho punto en cuesti'on. Hubo que tener cuidado al analizar los puntos que ten'ian como vecinos a pared externa o interna del horno, pues  en ese caso ya se conoc'ia su temperatura.

\subsection{Pruebas iniciales}
Las primeras pruebas que se realizaron para este trabajo pr'actico fueron satisfactorias. Como la idea era comprobar que efectivamente la matriz calculara de una manera correcta la temperatura en cada punto del horno (utilizando la ecuaci'on del calor en cada uno de ellos), se decidi'o comenzar por lo b'asico. El seguimiento del programa se volv'ia bastante complicado cuando el horno era definido con varios puntos dentro del 'el. Por este motivo, las primeras pruebas se hicieron sobre hornos con tres radios distintos y s'olo tres puntos externos (es decir tres angulos), d'andonos un total de nueve puntos para todo el horno. Tres puntos internos con temperatura 1.500 grados y tres puntos externos cuya temperatura era generada de manera azarosa (entre 50 y 200 grados). 

De esta manera pudimos hacer el seguimiento a lo largo de todo el programa de c'omo se iban calculando las diferentes temperaturas y c'omo se generaba la matriz resultado. Los gr'aficos observados para esta etapa carec'ian de sentido. Al tener tan pocos radios, y por lo tanto, tan poco puntos de control de temperatura para un mismo radio, el grafico de valor de esta 'ultima ca'ia de una manera muy dr'astica. Por eso pasamos a la siguiente etapa.

\subsection{Pruebas Contundentes}
Una vez que nos sercioramos de que el programa hac'ia lo que ten'ia que hacer, recurimos a los casos m'as elevados. Aumentamos la cantidad de puntos dentro de un mismo radio, y la cantidad de radios dentro del horno. Esto nos permitio una mayor apreciaci'on de c'omo la temperatura fue variando a trav'es de la pared. Esto se pudo ver analizando los gr'aficos del resultado obtenido.

Observamos que al aumentar la cantidad de puntos dentro del modelo del, para as'i poder realizar una estimacion m'as aproximada, la resolucion del algoritmo se volv'ia demasiado lenta, llegando en varios casos a no terminar por falta de espacio. Esto se debe a que para calcular la isoterma de un horno con n puntos es necesaria una matriz de dimensi'on $n\times n$, agotando r'apidamente la capacidad de la memoria. Debido a esto, los casos analizados nunca pudieron pasar los 10.000 (aproximadamente) puntos.

Al notar esto se intent'o realizar una optimizaci'on , pues la cantidad de $0$ que aparecen en cada matriz es contundente pero proporcional a la dimensi'on de esta 'ultima. Esto se debe a c'omo fue generada la matriz. Como se explico previamente, cada fila de la matriz correspond'ia a la ecuacion del calor evaluada en un determinado punto. De esto se desliga que al despejar la temperatura en el punto $A_{ij}$, 'esta nos queda s'olo en funci'on de sus cuatro puntos vecinos, lo que hace que la cantidad de ceros que se encuentren dentro de esa determinada fila sera igual a la cantidad total de puntos de la discretizaci'on menos cuatro. Esto desperdicia memoria en gran medida, ya que la matriz ten'ia una dimensi'on de \textit{cantidad de puntos}$\times$\textit{cantidad de puntos} y contiene ceros en la mayor'ia de las posiciones.

Una optimizaci'on posible para evitar este desperdicio parti'o de la idea de c'omo se podia aprovechar el hecho de que la matriz fuese cuasi tribanda (recordar que en los extremos opuestos a la diagonal, la matriz tiene valores no nulos). Para ello se ideo formar una matriz con solo tres filas en la cual cada fila corresponde a una banda de la matriz original, reduciendo as'i el uso de memoria de manera considerable. Para los valores alejados de las diagonales, se utiliza otra matriz en la que se guardan cada uno de ellos en una misma fila por cada fila de la matriz original. Esta segunda matriz ser'a de menor tama~no, ya que la cantidad de filas sera la misma, pero la cantidad de columnas ser'a igual al la maxima cantidad de puntos vecinos que no se encuentren dentro de ninguna banda.

Sin embargo, la falta de experiencia y tiempo no permiti'o que se implementara la mencionada optimizaci'on, pues las pruebas de triangulaci'on sobre esta estructura fallaban constantemente.
